Пекинский нейрохирург Шаньму Цзинь параллельно со своими исследованиями начал интересоваться матричным анализом. Так он наткнулся на гипотезу Крузе, сформулированную французским математиком Мишелем Крузе в 2004 году. У Цзиня нет профильного образования: бакалавриат он окончил по геологии, затем получил медицинскую степень, а продвинутую математику изучал самостоятельно.
ℹ️ Что за Гипотеза?
Возьмем квадратную комплексную матрицу A размера n×n. Ее числовой образ — это множество всех чисел вида ⟨Ax,x⟩, где x пробегает комплексные векторы единичной длины. Это компактное выпуклое множество на комплексной плоскости, содержащее все собственные значения матрицы.
Гипотеза Крузе утверждает, что для любой такой матрицы и любого многочлена операторная (спектральная) норма этого многочлена от матрицы не превосходит удвоенного максимума модуля того же многочлена на числовом образе матрицы.
Иначе говоря, если подставить матрицу в многочлен вместо переменной, то норма получившейся матрицы может оказаться больше наибольшего значения этого многочлена на числовом образе, но не более чем в два раза. Коэффициент 2 универсален: он не зависит ни от размера матрицы, ни от выбора многочлена.
Цзинь решил решить задачу с помощью GPT-5.6 Sol. Он запретил модели обращаться к интернету, потребовал запускать множество агентов с разными стратегиями, заставлять их критиковать доказательства друг друга и не останавливаться, пока один из вариантов не выдержит проверку. После этого врач запустил систему примерно на 16 часов и больше не вмешивался. В результате ИИ нашел ключевой аргумент, на котором строится доказательство. Цзинь опубликовал не только препринт, но и промпт, промежуточные версии работы и формализацию для системы проверки доказательств Lean.
Пока работа еще не прошла рецензирование. Но математики Алекс Таунсенд и Энн Гринбаум, а также сам Мишель Крузе подробно проверили доказательство и считают его корректным. А всего через восемь дней голландские математики Эмиэль Лорист и Феликс Швеннингер опубликовали другое, независимое доказательство той же гипотезы — они тоже использовали ChatGPT для исследования.
В августе этого же года сотрудник Anthropic Джарред Самнер попросил Claude попробовать доказать гипотезу Римана, одну из задач тысячелетия, за решение которой Институт Клэя обещает $1 млн.
С гипотезой ИИ не справился, но неожиданно улучшил результат по связанной задаче: долю нулей дзета-функции, для которых гарантировано выполняется условие гипотезы, удалось поднять с 41,6% до 67,2%. Результат проверили математики Anthropic, а доказательство дополнительно формализовали в Lean.
ИИ сможет решить «задачи тысячелетия»?
❤️ — да, и очень скоро
🔥 — нет, но может помочь